买卖股票最佳时机
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票一次），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
注意：你不能在买入股票前卖出股票。
示例 1:
输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
示例 2:
输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock
解题思路 1 - 穷举
穷举相邻两个元素的差值，暴力求解。
结果是大量数据的时候会超时，阶乘的数量太多。
代码
class Solution {
/**
* @param Integer[] $prices
* @return Integer
*/
function maxProfit($prices) {
$count = count($prices);
if ($count < 2) {
return 0;
}
// 有可能不做交易，因此结果的初始值设置为 0
$res = 0;
for ($i = 0; $i < $count - 1; $i++) {
for ($j = $i + 1; $j < $count; $j++) {
$res = max($res, $prices[$j] - $prices[$i]);
}
}
return $res;
}
}
优化版穷举
提前记录一下最小值，省去内层循环。
class Solution {
/**
* @param Integer[] $prices
* @return Integer
*/
function maxProfit($prices) {
$count = count($prices);
if ($count < 2) {
return 0;
}
$res = 0;
// 表示在当前位置之前的最小值
$minVal = $prices[0];
// 注意：这里从 1 开始
for ($i = 1; $i < $count; $i++) {
$res = max($res, $prices[$i] - $minVal);
$minVal = min($minVal, $prices[$i]);
}
return $res;
}
}
解题思路 2 - 动态规划
设置状态 dp[i][j] 表示：在索引为 i 的这一天，用户手上持股状态为 j 时所获得的最大利润
j 只有 2 个值：0 表示不持股（特指卖出股票以后的不持股状态），1 表示持股
状态转移方程:
dp[i][0]怎样转移？
dp[i - 1][0]：当然可以从昨天不持股转移过来，表示从昨天到今天什么都不操作dp[i - 1][1] + prices[i]：昨天持股，就在索引为 i 的这一天，我卖出了股票，状态由 1 变成了 0，此时卖出股票，因此加上这一天的股价 综上：dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][1]怎样转移？
dp[i - 1][1]：昨天持股，今天什么都不操作，当然可以从昨天持股转移过来-prices[i]：注意：状态 1 不能由状态 0 来，因为事实上，状态 0 特指：“卖出股票以后不持有股票的状态”，而且题目只允许一次交易，因此不能加上dp[i - 1][0]因此，-prices[i]就表示，在索引为 i 的这一天，执行买入操作得到的收益 综上：dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
初始值:
第 0 天不持股，显然 dp[0][0] = 0；
第 0 天持股，显然 dp[0][1] = -prices[0]
代码
class Solution {
/**
* @param Integer[] $prices
* @return Integer
*/
function maxProfit($prices) {
$count = count($prices);
if ($count < 2) {
return 0;
}
$res = 0;
// 0：用户手上不持股所能获得的最大利润，特指卖出股票以后的不持股
// 1：用户手上持股所能获得的最大利润
// 注意：因为题目限制只能交易一次，因此状态只可能从 1 到 0，不可能从 0 到 1
$dp = [];
$dp[0][0] = 0;
$dp[0][1] = -$prices[0];
for ($i = 1; $i < $count; $i++) {
$dp[$i][0] = max($dp[$i - 1][0], $dp[$i - 1][1] + $prices[$i]);
$dp[$i][1] = max($dp[$i - 1][1], -$prices[$i]);
}
return $dp[$count - 1][0];
// 一维数组优化版
// $dp = [];
// $dp[0] = 0;
// $dp[1] = -$prices[0];
// for ($i = 1; $i < $count; $i++) {
// $dp[0] = max($dp[0], $dp[1] + $prices[$i]);
// $dp[1] = max($dp[1], -$prices[$i]);
// }
// return $dp[0];
}
}
解题思路3 - 差分数组
差分数组的连续子区间和的值，就正好是原始股价数组进行一次交易的差价（后 - 前）
举个例子:对于数组 1 6 2 8，代表股票每天的价格
定义一下转换规则，当前天的价格减去前一天的价格，第一天由于没有前一天，规定为 0，用来代表不操作
数组就转换为 0 6-1 2-6 8-2，也就是 0 5 -4 6。现在的数组的含义就变成了股票相对于前一天的变化了
现在我们只需要找出连续的和最大是多少就可以了，也就是变成了 53 题
连续的和比如对应第 3 到 第 6 天加起来的和，那对应的买入卖出其实就是第 2 天买入，第 6 天卖出
因此，我们可以在差分数组上，求“最大连续子序列的和”
代码
class Solution {
/**
* @param Integer[] $prices
* @return Integer
*/
function maxProfit($prices) {
$count = count($prices);
if ($count < 2) {
return 0;
}
$dp = 0;
$max = 0;
for ($i = 1; $i < $count; $i++) {
// 累加的相邻日期的收益（差值）
$num = $prices[$i] - $prices[$i - 1];
$dp = max($dp + $num, $num);
$max = max($max, $dp);
}
return $max;
}
}
参考链接
